Second-Order Necessary Conditions in Pontryagin Form for Optimal Control Problems

In this report, we state and prove rstand second-order necessary conditions in Pontryagin form for optimal control problems with pure state and mixed control-state constraints. We say that a Lagrange multiplier of an optimal control problem is a Pontryagin multiplier if it is such that Pontryagin's minimum principle holds, and we call optimality conditions in Pontryagin form those which only involve Pontryagin multipliers. Our conditions rely on a technique of partial relaxation, and apply to Pontryagin local minima. Key-words: Optimal control; pure state and mixed control-state constraints; Pontryagin's principle; Pontryagin multipliers; second-order necessary conditions; partial relaxation. The research leading to these results has received funding from the EU 7th Framework Programme (FP7PEOPLE-2010-ITN), under GA number 264735-SADCO, and from the Gaspard Monge Program for Optimization and operations research (PGMO). ∗ Inria-Saclay and CMAP, Ecole Polytechnique, Route de Saclay, 91128 Palaiseau Cedex, France. Emails: [email protected], [email protected], laurent.pfei [email protected]. ha l-0 08 25 27 3, v er si on 1 23 M ay 2 01 3 Conditions nécessaires du second ordre sous forme Pontryaguine pour des problèmes de commande optimale Résumé : Dans ce rapport, nous énonçons et prouvons des conditions nécessaires du premier et second ordre sous forme Pontryaguine pour des problèmes de commande optimale avec contraintes pures sur l'état et mixtes sur l'état et la commande. Nous appelons multiplicateur de Pontryaguine tout multiplicateur de Lagrange pour lequel le principe de Pontryaguine est satisfait et parlons de conditions d'optimalité sous forme Pontryaguine si elles ne font intervenir que des multiplicateurs de Pontryaguine. Nos conditions s'appuient sur une technique de relaxation partielle et sont valables pour des minima de Pontryaguine. Mots-clés : Commande optimale; contraintes pures sur l'état et contraintes mixtes sur l'état et la commande; principe de Pontryaguine; multiplicateurs de Pontryaguine; conditions nécessaires du second ordre; relaxation partielle. ha l-0 08 25 27 3, v er si on 1 23 M ay 2 01 3 Second-order necessary conditions in Pontryagin form for optimal control problems 3